计算行列式是线性代数中的基础操作，其核心在于通过一系列代数运算，将一个方阵（行数和列数相等的矩阵）转化为一个单一的数值。这个数值被称为该方阵的行列式。二阶行列式的计算最为简单，通常使用交叉相乘法；三阶及更高阶行列式的计算则需要借助代数余子式展开或行变换等方法。
一、二阶行列式的计算
二阶行列式是最基础的行列式类型，它对应于一个 2x2 的方阵。
假设我们有一个二阶矩阵 A：
$$ A = egin{pmatrix} a b \ c d end{pmatrix} $$
其行列式记作 det(A) 或 |A|，计算方法如下：
对角线交叉相乘： 将主对角线上的元素（a 和 d）相乘。 减去副对角线乘积： 将反对角线上的元素（b 和 c）相乘，然后从主对角线乘积中减去。即：
$$ |A| = ad - bc $$
示例：
计算矩阵 $$ B = egin{pmatrix} 3 2 \ 1 4 end{pmatrix} $$ 的行列式。
根据公式：
$$ |B| = (3 imes 4) - (2 imes 1) = 12 - 2 = 10 $$
二、三阶行列式的计算
三阶行列式对应于一个 3x3 的方阵。计算方法有多种，最常用的是**代数余子式展开法**和**对角线法则（又称小公式）**。
1. 代数余子式展开法
这是计算高阶行列式通用的方法。其基本思想是将一个高阶行列式的计算转化为计算若干个低一阶的行列式。
假设我们有一个三阶矩阵 A：
$$ A = egin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \ a_{21} a_{22} a_{23} \ a_{31} a_{32} a_{33} end{pmatrix} $$
我们可以沿着任意一行或任意一列进行展开。以第一行为例，其行列式计算公式为：
$$ |A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} $$
其中，$C_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。代数余子式 $C_{ij}$ 由两部分组成：
符号： $(-1)^{i+j}$，其中 i 是行号，j 是列号。 余子式： $M_{ij}$，它是将原矩阵划去第 i 行和第 j 列后得到的 (n-1)x(n-1) 阶矩阵的行列式。即：$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。
对于三阶行列式，展开第一行：
$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 imes egin{vmatrix} a_{22} a_{23} \ a_{32} a_{33} end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$ $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 imes egin{vmatrix} a_{21} a_{23} \ a_{31} a_{33} end{vmatrix} = -(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31})$ $C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 1 imes egin{vmatrix} a_{21} a_{22} \ a_{31} a_{32} end{vmatrix} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}$所以，第一行展开的行列式为：
$$ |A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $$
示例：
计算矩阵 $$ C = egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 4 5 \ 1 0 6 end{pmatrix} $$ 的行列式。
沿第一行展开：
$a_{11}=1$, $C_{11} = egin{vmatrix} 4 5 \ 0 6 end{vmatrix} = (4 imes 6) - (5 imes 0) = 24$ $a_{12}=2$, $C_{12} = - egin{vmatrix} 0 5 \ 1 6 end{vmatrix} = -((0 imes 6) - (5 imes 1)) = -(-5) = 5$ $a_{13}=3$, $C_{13} = egin{vmatrix} 0 4 \ 1 0 end{vmatrix} = (0 imes 0) - (4 imes 1) = -4$$$ |C| = 1 imes 24 + 2 imes 5 + 3 imes (-4) = 24 + 10 - 12 = 22 $$
2. 对角线法则（小公式）
这种方法只适用于三阶行列式，是一种更直观的计算方式。其步骤如下：
复制前两列： 将原矩阵的前两列复制到矩阵的右侧，形成一个 3x6 的矩阵。 计算主对角线乘积之和： 将从左上到右下的三条对角线上的元素相乘，并将这些乘积相加。 计算反对角线乘积之和： 将从右上到左下的三条对角线上的元素相乘，并将这些乘积相加。 相减： 用第一步的总和减去第二步的总和。对于矩阵：
$$ A = egin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \ a_{21} a_{22} a_{23} \ a_{31} a_{32} a_{33} end{pmatrix} $$
复制前两列后为：
$$ egin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} a_{11} a_{12} \ a_{21} a_{22} a_{23} a_{21} a_{22} \ a_{31} a_{32} a_{33} a_{31} a_{32} end{pmatrix} $$
计算公式：
$$ |A| = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) $$
示例：
使用对角线法则计算矩阵 $$ C = egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 4 5 \ 1 0 6 end{pmatrix} $$ 的行列式。
复制前两列：
$$ egin{pmatrix} 1 2 3 1 2 \ 0 4 5 0 4 \ 1 0 6 1 0 end{pmatrix} $$
主对角线乘积之和：
$(1 imes 4 imes 6) + (2 imes 5 imes 1) + (3 imes 0 imes 0) = 24 + 10 + 0 = 34$
反对角线乘积之和：
$(3 imes 4 imes 1) + (1 imes 5 imes 0) + (2 imes 0 imes 6) = 12 + 0 + 0 = 12$
行列式值：$34 - 12 = 22$。结果与代数余子式展开法一致。
三、四阶及更高阶行列式的计算
对于四阶及更高阶的行列式，代数余子式展开法是最标准和通用的方法。然而，直接展开会涉及计算很多低一阶的行列式，计算量会非常大。因此，在进行展开之前，通常会利用行列式的性质进行**行变换**，将行列式化简，使其包含尽可能多的零元素，从而简化计算。
1. 行列式的性质
性质一： 互换矩阵的任意两行（或两列），行列式的值改变符号。 性质二： 将某一行（或列）的各元素乘以一个数 k，行列式的值也乘以 k。 性质三： 将某一行（或列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式的值不变。 性质四： 矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式，即 $|A| = |A^T|$。 性质五： 如果矩阵有两行（或两列）对应成比例，则行列式为零。 性质六： 如果矩阵中有一行（或一列）全是零，则行列式为零。 性质七： 对角矩阵（主对角线以外元素全为零）的行列式等于主对角线元素之积。 性质八： 三角形矩阵（上三角矩阵或下三角矩阵，主对角线以下的元素全为零或主对角线以上的元素全为零）的行列式等于主对角线元素之积。2. 利用行变换化简行列式
行变换（或列变换）的主要目标是将矩阵转化为**行阶梯形矩阵**或**对角矩阵**，因为这些形式的行列式计算非常容易。
化简策略：
制造零元素： 利用性质三（某一行（或列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式的值不变），将非零元素变成零。优先处理某一行或某一列，使其尽可能多地出现零。 选取展开行/列： 选择含有最多零元素的行或列进行代数余子式展开，以减少需要计算的子行列式的个数。 重复化简： 对得到的低一阶的子行列式重复进行化简和展开，直到得到一个二阶或一阶的行列式。示例：
计算四阶行列式：
$$ D = egin{vmatrix} 2 1 0 3 \ 1 0 2 1 \ 0 3 1 0 \ 3 1 0 2 end{vmatrix} $$
步骤一：利用行变换化简，使第一列出现更多零。
将第一行的 2 倍减去第三行，将第一行的 3/2 倍减去第四行（为避免分数，可以先交换第一行和第二行，然后进行操作）。
我们先交换第一行和第二行，行列式符号改变：
$$ - egin{vmatrix} 1 0 2 1 \ 2 1 0 3 \ 0 3 1 0 \ 3 1 0 2 end{vmatrix} $$
R2 = R2 - 2R1，R4 = R4 - 3R1：
$$ - egin{vmatrix} 1 0 2 1 \ 0 1 -4 1 \ 0 3 1 0 \ 0 1 -6 -1 end{vmatrix} $$
步骤二：沿第一列展开。
$$ - left( 1 imes egin{vmatrix} 1 -4 1 \ 3 1 0 \ 1 -6 -1 end{vmatrix} ight) $$
步骤三：计算三阶行列式。
我们沿第一行展开这个三阶行列式：
$$ egin{vmatrix} 1 -4 1 \ 3 1 0 \ 1 -6 -1 end{vmatrix} = 1 imes egin{vmatrix} 1 0 \ -6 -1 end{vmatrix} - (-4) imes egin{vmatrix} 3 0 \ 1 -1 end{vmatrix} + 1 imes egin{vmatrix} 3 1 \ 1 -6 end{vmatrix} $$
$$ = 1 imes (1 imes -1 - 0 imes -6) + 4 imes (3 imes -1 - 0 imes 1) + 1 imes (3 imes -6 - 1 imes 1) $$
$$ = 1 imes (-1) + 4 imes (-3) + 1 imes (-18 - 1) $$
$$ = -1 - 12 - 19 = -32 $$
步骤四：回到四阶行列式。
$$ |D| = - (-32) = 32 $$
通过行变换，我们将一个复杂的四阶行列式计算，转化为了一个相对简单的三阶行列式计算，再到二阶行列式计算。
四、总结与注意事项
二阶行列式： 直接使用 $ad-bc$ 公式。 三阶行列式： 可使用代数余子式展开法或对角线法则。 高阶行列式： 优先使用行变换（或列变换）化简矩阵，使其产生尽可能多的零元素，然后再进行代数余子式展开。 符号规律： 代数余子式展开时，符号 $(-1)^{i+j}$ 的规律为 + - + - ... 组成一个棋盘格状的符号矩阵。 计算准确性： 在计算过程中，务必仔细核对每一步的符号和乘法，避免计算错误。掌握行列式的计算方法是学习线性代数、理解矩阵性质以及解决相关数学问题的关键一步。
